잎 표면의 검은 반점들은 진딧물이나 깍지벌레 같은 흡즙 해충이 배출한 감로(단맛이 나는 분비물)에 곰팡이가 자라 발생하는 그을음병(Sooty mold)으로 보입니다.

통풍을 좋게하고 해충의 발생을 예방해야 합니다.

진딧물에.의한 현상이 맞는듯 하네요~~
저희 고추나무 두세포기가 이런 현상이 있었는데 진딧물이 많이 꼇던 포기였어요~~~
다행히 방제를 했드니 지금은 괜찮아 졌어요
방제를 잘 하시면 좋아질듯 합니다~~~